Método de Runge-Kutta e redes neurais para aproximação numérica de equações diferenciais ordinárias

Resumo

Neste trabalho, apresentamos uma abordagem que combina métodos numéricos tradicionais de resolução de equações diferenciais com técnicas de machine learning, visando obter aproximações mais eficientes das soluções de equações diferenciais ordinárias (EDOs). Em particular, propomos a integração do método de Runge-Kutta para resolver problemas de valores iniciais com redes neurais. O método de Runge-Kutta é inicialmente empregado para gerar aproximações da solução em uma vizinhança do ponto inicial. Em seguida, treinamos uma rede neural utilizando esses pontos como dados de entrada. Os resultados obtidos demonstram que o modelo resultante possui um desempenho comparável ao da rede neural treinada exclusivamente com os pontos da solução real. Na comparação com o método de Runge-Kutta em todo intervalo, usando a mesma quantidade de pontos, o modelo apresentou um desempenho melhor. Entretanto, observamos que a arquitetura da rede neural implementada no processo de modelagem não foi capaz de superar o desempenho do método de Runge-Kutta em todo o intervalo, quando usamos o mesmo comprimento de passo para a obtenção dos pontos. Este resultado sugere a necessidade de investigações mais aprofundadas na concepção da arquitetura da rede neural para melhorar sua capacidade de generalização em problemas de EDOs.